Pravděpodobnost a diskrétní rozdělení

Na přednášce jsem si představili základní diskrétní pravděpodobnostní rozdělení a jejich vlastnosti. Cílem tohoto cvičení je si tato rozdělení vyzkoušet v praxi a vypočítat několik příkladů z oblasti geografie. Postupně budeme procházet všechna představená rozdělení včetně jednoho řešeného příkladu a několika příkladu k řešení.

Binomické rozdělení: B(p; n)

definice: máme n nezávislých pozorování nebo pokusů se dvěma možnými výsledky – pravda x nepravda a pro všechny pokusy je pravděpodobnost p pro úspěch stejná.

Řešený příklad – Pravděpodobnost, že se objeví v daném roce bleskové povodně v okrese Nový Jičín je 0,25. Jaká je pravděpodobnost, že v následujících 4 letech budou tři povodně.

V tomto případě každý rok reprezentuje samostatný nezávislý pokus (pozorování), jehož úspěšným výsledkem je povodeň v daném roce (úspěch čistě statisticky, jistě ne v realitě) a neúspěch je rok bez povodně. Pravděpodobnost pro povodeň p = 0,25. Cílem je určit pravděpodobnost p, kdy počet úspěchů X = 3 z pokusů n = 4.

Pravděpodobnost, že za 4 roky se objeví 3 bleskové povodně v okrese Nový Jičín je 4,69 %. Výsledek si můžete ověřit také např. v tomto appletu.

Geometrická distribuce

má stejné vlastnosti jako binomická, ale nezajímá nás pravděpodobnost četnosti úspěchů, ale kdy se objeví úspěch poprvé.

Řešený příklad – Použijme opět předchozí příklad s tím rozdílem, že nás zajímá pravděpodobnost, že se poprvé objeví blesková povodeň v 1., 2., 3., 4. nebo 5. roce.

Tedy pravděpodobnost, že se objeví povodeň p = 0,25 a zajímá nás, zda se povodeň poprvé objeví v leteche x = 1, 2, 3, 4, 5.

Pravděpodobnost povodně v prvním roce je pochopitelně 25 %, pravděpodobnost, že se objeví povodeň až v druhém roce je 19 %, ve třetím pak 14 %, ve čtvrtém 11 % a v pátém roce jen 8 %. Opět k výpočtu můžete použít celou řadu appletů, např. tento.

Hypergeometrická distribuce HG(n,N,x)

Popisuje modely, které mohou být popsány jako: máme N kuliček, kde r je počet modrých a N-r je počet červených, vyberu náhodně n kuliček a hledám proměnnou X, která definuje, kolik modrých kuliček jsem vybral.

Řešený příklad – Do Ostravy se přistěhovalo v říjnu N = 59 obyvatel, přičemž r = 8 z nich má vysokou školu a tedy 51 má nižší vzdělání. Zajímá nás, zda vysokoškoláci preferují bydlení v určité části města. Konkrétně další informací je, že celkem se n = 30 obyvatel přestěhovalo do Poruby a x = 5 z nich má vysokou školu. Zajímá nás pravděpodobnost, že z 30 lidí stěhujících se do Poruby bude mít vysokou školu nanejvýš 2.

Tedy úspěch r, že se do Poruby přestěhuje vysokoškolák a varianty x=2.

Pravděpodobnost, že z 30 obyvatel stěhujících se do Poruby jsou nanejvýš 2 vysokoškoláci je 11,6 %. Opět doporučuji využít applet.

Poissonovo rozdělení Pois(λ)

Jednotlivá pozorování jsou zcela nezávislá na prostoru a čase a pravděpodobnost vzniku události je stejná pro celé sledované území (čas) a dále neexistuje případ vzniku dvou jevů na jednom místě (současně).

Řešený příklad – Při analyzování nakaženosti klíšťat encefalitidou jsme studované území rozdělili do čtvercové sítě a v každém čtverci předpokládáme stejnou pravděpodobnost, že je klíště nakažené. V každém čtverci o ploše 2 km² jsme našli 3 nakažená klíšťata. Jaká je pravděpodobnost, že ve čtverci 4 km² nalezneme 10 nakažených klíšťat?

Pravděpodobnost, že ve čtverci 4 km² nalezneme 10 nakažených klíšťat je 4,13 %. Opět využijte např. applet.

Samostatné cvičení

Níže jsou uvedeny podíly dojíždějících na VŠB dle času dojížďky:

Čas dojížďky	Podíl
<10 min	0,15
10 – 19 min	0,17
20 – 29 min	0,3
30 – 44 min	0,2
45 – 59 min	0,13
60+ min	0,05

1. Jaká je pravděpodobnost, že 5 náhodně vybraných dojíždějících bude každý dojíždět 10 minut a déle?
2. Jaká je pravděpodobnost, že přesně 1 dojíždějící z vybraných bude dojíždějících bude dojíždět méně jak 10 minut?
3. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň 2 dojíždějící z 6 dojíždí méně než 20 minut?

K velké dopravní nehodě na dálnici D1 mezi Brnem a Prahou dochází průměrně jednou za 2 týdny. Jaká je pravděpodobnost, že v následujících 3 týdnech dojde k 3 velkým nehodám?

Typická Ostravan se každý rok přestěhuje s pravděpodobností p = 0,17. Jaká je pravděpodobnost, že se Ostravan přestěhuje po 7 nebo 8 letech?

V průměru jsou v Praze měsíčně evidovány 2 krádeže aut na každé 4 km²,

1. Jaká je pravděpodobnost, že v dalším měsíci nebude žádná krádež na ploše 10 km²?
2. Jaká je pravděpodobnost, že bude v dalším měsíci alespoň 1 ukradené auto na ploše 15 km²?
3. Jaká je pravděpodobnost, že bude v dalších 10 dnech ukradeno právě 1 auto na ploše 8 km²?

Cvičení je vytvořeno v rámci projektu Inovace bakalářských a magisterských studijních oborů na Hornicko-geologické fakultě VŠB-TUO pod číslem CZ.1.07/2.2.00/28.0308. Tento projekt je realizován za spoluúčasti EU.